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Mathematics

位相の基底

ホモロジーゼミの中で位相の基底に関する議論が出てきたのでそれについてまとめます。 この記事は大部分が松坂の集合位相入門によっています。

単連結な被覆空間の存在

ホモロジーゼミの基本群パートの一つの山場である、被覆空間の分類定理がやってきました。 この定理を示すためには、単連結な被覆空間の存在証明が必要になります。

Theorem: 単連結な被覆空間の存在

弧状連結かつ局所弧状連結な位相空間\(X,\tilde{X}\)で、\(\tilde{X}\)は\(X\)の被覆空間とする。\(\tilde{X}\)が単連結になるための必要十分条件は\(X\)が半局所単連結であることである。

Unique lifting property

Hatcherの"Algebraic Topology"のProposition 1.34でUnique lifting propertyとその証明が与えられているのですが、その証明がわかりにくかったのでここに分かりやすくまとめてみます。 Hatcherが全体的に読みにくいと感じるのは自分だけだろうか。。。

Hermite多項式の係数

Hermite多項式の係数をpythonで求める方法を紹介します。 係数自体は三項間漸化式で求められますが、高次の係数を求めるときには再帰が必要になり計算量が増えてしまいます。 functoolsモジュールのcacheを使うと再帰を高速化できます。

Random Fourier Features

カーネル法によるリッジ回帰は表現力が高いことが知られており、またその数学的背景の豊かさから多くの研究がなされてきました。 しかし、\(n\)個のデータ数に対して推論に\(\mathcal{O}(n^{3})\)の計算量が必要とされるため、計算量を低減させる方法を検討することは非常に重要です。 ここでは、Random Fourier Features 1と呼ばれる方法を紹介します。 実装も行ったがGistにも公開している。

AUTOのインストール方法

AUTOはODE(常微分方程式)の分岐解析を扱うソフトウェアで、1980年に開発されて以来力学系界隈で使われてきました。 現在はGitHubにてコードが公開されて細々と(?)開発が続けられています。

AUTOは便利ではあるのですが、そのインストール方法がプログラム初心者には少し難しいことがあるそうなのでその流れを少しまとめてみました。 以下では基本的にMac OSでインストールする方法を述べますが、WindowsやLinuxでも同様だと思います。 また、最低限のターミナルでの操作は出来るものとしておきます。

Brouwer's fixed-point theorem

ホモロジーゼミの中でブラウワーの不動点定理の証明が出てきました。特に円盤\(D^{2}\)上でのブラウワーの不動点定理は基本群を用いて簡便に証明ができることを学んだので備忘録としてまとめておきます。

ブラウワーの不動点定理

\(D^{2}\to D^{2}\)の任意の連続関数は不動点を持つ。