Kovacicのアルゴリズムは有利係数の2階線形常微分方程式を解くアルゴリズムです。与えられた微分方程式が解くことができる場合にはその解を出力し、解くことができない場合にはそうであることがわかるという非常に便利なアルゴリズムになっています。ここで言う"解ける"という言葉は微分ガロア理論の意味で用いられています。僕自身は微分ガロア理論には詳しくはないので細かいことはわかりませんが、細かいことがわからなくてもKovacicのアルゴリズムを使うことができるものになっています。
Egorovの定理は関数列の概収束と概一様収束の関係を述べたものになります。
Egorovの定理
有限測度空間\((X,\mathcal{F},\mu)\)上の可測関数列\(f_{n}\colon X\to\mathbb{C}\)に対して、\(f_{n}\)が可測関数\(f\)に概収束するならば、\(f_{n}\)は\(f\)に概一様収束する。
3月14日は円周率の日ということもあって次のツイートを見つけました。
Happy Pi Day, folks!
— 10-K Diver (@10kdiver) March 14, 2022
(Today = March 14 = 3/14. And pi ~= 3.14.)
Here's a fun way to approximate pi using probability.
Take 2 random numbers X and Y between 0 and 1. What's the probability that the integer nearest to X/Y is even?
Answer: (5 - pi)/4 pic.twitter.com/ZWviwSQ2VM
この証明を行っていきます。
カーネル関数\(k(\cdot,\cdot)\)が与えられたとき、データ点\(\{x_{i}\}_{i=1}^{n}\)に対するGram行列(グラム行列)は $$ K=\begin{pmatrix}k(x_{1},x_{1}) & \cdots & k(x_{1},x_{n})\\\vdots & \ddots & \vdots\\ k(x_{n},x_{1}) & \cdots & k(x_{n},x_{n})\end{pmatrix} $$ で与えられます。色々な場面に登場するのですが、RBFカーネルからガウス過程を生成する際にその固有値計算で詰まったところがあったのでかんたんにまとめておきます。
領域\(\Omega\subset\mathbb{R}^{n}\)上で定義された関数\(u\in C^{2}(\Omega)\)についてLaplacian(ラプラシアン)は $$ \Delta u(x)=\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial^{2}u}{\partial x_{i}^{2}}(x) $$ で表されます。このとき、\(\partial B(x,r)=\{y\in\mathbb{R}^{n}\mid |x-y|=r\}\)とおくと、 $$ \Delta u(x)=\lim_{r\to+0}\frac{2n}{r^{2}|\partial B(x,r)|}\int_{\partial B(x,r)}u(y)-u(x)d\sigma_{y} $$ が成り立ちます。\(d\sigma_{y}\)は\(\partial B(x,r)\)上の面積要素です。 この表現を得るには\(u(y)\)を\(x\)まわりでTaylor展開することが大事になるのですが、 その際、平均値の定理によって得られるTaylor展開だと剰余項の評価が難しくなります。 積分型のTaylor展開を用いることでこの問題を解決することができます。
Borwein積分は\(\sin x/x\)に関する興味深い性質を持った積分のことです。 例えば $$ \int_{0}^{\infty}\frac{\sin x}{x}dx=\frac{\pi}{2} $$ となることはよく知られていますが、これに\(\sin(3x)/3x\)をかけたものについても $$ \int_{0}^{\infty}\frac{\sin x}{x}\frac{\sin (x/3)}{x/3}dx=\frac{\pi}{2} $$ が成り立ちます。同様のことは\(\sin (x/5)/(x/5)\)や\(\sin(x/7)/(x/7)\)をかけていっても成り立ち、 $$ \int_{0}^{\infty}\frac{\sin x}{x}\frac{\sin (x/3)}{x/3}\cdots\frac{\sin (x/13)}{x/13}dx=\frac{\pi}{2} $$ となります。しかし、次のステップではこの計算は崩れて $$ \int_{0}^{\infty}\frac{\sin x}{x}\frac{\sin (x/3)}{x/3}\cdots\frac{\sin (x/15)}{x/15}dx=\frac{467807924713440738696537864469}{935615849440640907310521750000}\pi<\frac{\pi}{2} $$ となってしまいます。一見するとこの値も\(\pi/2\)になりそうなのですが、何故か値がずれてしまいます。 このような積分のことをBorwein積分とよび、いくつかの計算がなされています。
マット・デイモンとロビン・ウィリアムズ主演の映画『グッド・ウィル・ハンティング/旅立ち』(Good Will Hunting)の中で、MITの廊下に掲示されたグラフ理論の問題を清掃をしていたマット・デイモンが解いてしまうシーンがあります。 中学生とかのときに初めてこの映画を見たときにはよっぽど難しい問題なんだろうな、と思ったのですが、最近見返してみると定義に従って素直に計算すれば解ける問題だということがわかったのでまとめておきます。
Quote
Given the graph \(G\), find
行列\(A\)を\(m\times n\)の実行列とします。 このときある直交行列\(U\in\mathbb{R}^{m\times m},V\in\mathbb{R}^{n\times n}\)が存在して、 $$ U^{\mathsf{T}}AV=\Sigma=\begin{pmatrix}\mathrm{diag}(\sigma_{1},\dots,\sigma_{r}) & O_{r\times(n-r)} \\ O_{(m-r)\times r} & O_{(m-r)\times (n-r)}\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^{m\times n} $$ となるようにできます。このような分解を特異値分解と言います。
\([-1,1]\)上の関数 $$ \varphi(x)=|x| $$ を考え、 これを\(\varphi(x+2)=\varphi(x)\)として\(\mathbb{R}\)上へ拡張します。 このとき、 $$ f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{3}{4}\right)^{n}\varphi(4^{n}x) $$ は\(\mathbb{R}\)上の連続関数ですが至るところ微分不可能であることが知られています。 以下でこれを示していきましょう。
坂口-蔵本モデルは蔵本モデルにphase lagを導入したモデルで、次の微分方程式で表されます。 $$ \frac{d\theta_{i}}{dt}=\omega_{i}+\frac{K}{N}\sum_{j=1}^{N}\sin(\theta_{j}-\theta_{i}+\alpha),\quad i=1,\dots,N. $$ \(\alpha\)が位相差に対応していて、\(\alpha=0\)のときは蔵本モデルに戻ります。 結合強度\(K\)が変化したときに振動子が同期するかどうかを調べていきましょう。