単連結な被覆空間の存在

ホモロジーゼミの基本群パートの一つの山場である、被覆空間の分類定理がやってきました。この定理を示すためには、単連結な被覆空間の存在証明が必要になります。

Theorem: 単連結な被覆空間の存在

弧状連結かつ局所弧状連結な位相空間$X,\tilde{X}$で、$\tilde{X}$は$X$の被覆空間とする。$\tilde{X}$が単連結になるための必要十分条件は$X$が半局所単連結であることである。

準備¶

はじめに、この証明に必要ないくつかの定義・定理を示します。

半局所単連結

位相空間$X$が半局所単連結であるとは、任意の$x\in X$に対して$x$の開近傍$U$が存在して、包含写像$i\colon U\hookrightarrow X$から誘導される基本群の準同型写像$i_{\ast}\colon \pi_{1}(U,x)\hookrightarrow \pi_{1}(X,x)$が自明になることである。

Theorem

$O$を$S$における1つの位相とする。$M$が$O$の基底であることと、任意の$A\in O$と任意の$x\in A$に対して、 $$ x\in W,\quad W\subset A $$ となる$W\in M$が存在することは同値である。

Theorem

空でない集合$S$について、$B(S)$の部分集合$M$が$O(M)$の基底であることは次の2つと同値である。 1. 任意の$x\in S$に対してある$W\in M$が存在して$x\in W$となる。 2. 任意の$W_{1},W_{2}\in M$で$W_{1}\cap W_{2}\ne \emptyset$であるとき、任意の$x\in W_{1}\cap W_{2}$に対して、ある$W\subset W_{1} \cap W_{2}$が存在して$x\in W$なる$W\in M$が存在する。

証明は位相の基底を参照してください。

基底を用いた連続性の特徴づけに関する次の定理があります。

Theorem

位相空間$X$から$Y$への写像$f$を考え、$Y$の位相の基底を$M_{Y}$とする。$f$が連続であることと任意の開基底$W\in M_{Y}$に対して$f^{-1}(W)\subset X$が開集合となることは同値である。

Proof

$f$が連続であるとき、$Y$の任意の開集合$U$に対して、$f^{-1}(U)$が開集合であることは明らかである。$U$を$M_{Y}$の基底とすると、$f^{-1}(U)$は$X$の開集合であるから示された。
逆に任意の開基底$W\in M_{Y}$に対して$f^{-1}(W)$が開集合であるとする。このとき、$Y$の任意の開集合$U$に対して、ある開基底$W_{\lambda}\in M_{Y}$が存在して、$U=\bigcup_{\lambda}W_{\lambda}$となる。 $f^{-1}(U)=\bigcup_{\lambda}f^{-1}(W_{\lambda})$であり、各$\lambda$について$f^{-1}(W_{\lambda})$は開集合となるので$f^{-1}(U)$は開集合となるので、$f$は連続である。

最後にliftにまたがる定理を2つ紹介します。path$\tilde{f}$が$f$のliftであるとは、$p\circ\tilde{f}=f$が成り立つことです。

Theorem: path lifting property

$p\colon \tilde{X}\to X$を被覆空間とする。path$f\colon I\to X$について、始点$f(0)=x_{0}$のlift$\tilde{x}_ {0}$に対して、$\tilde{x}_{0}$を始点とする、$f$の唯一のlift $\tilde{f}\colon I\to \tilde{X}$が定まる。

Theorem

被覆空間$p\colon(\tilde{X}, \tilde{x}_ {0})\to (X,x_{0})$から誘導される写像

\[ p_{\ast}\colon \pi_{1}(\tilde{X}, \tilde{x}_ {0})\to\pi _ {1}(X, x_ {0});\quad [f]\mapsto [p\circ f] \]

は単射である。また、$\pi _ {1}(X, x_ {0})$の部分群である$p_{\ast}(\pi_{1}(\tilde{X}, \tilde{x}_ {0}))$の元は$x_{0}$を起点とするloopであって、そのliftが$\tilde{X}$上$\tilde{x}_{0}$を起点とするloopになる、ようなもののhomotopy類で表される。

証明¶

はじめに、必要条件を示します。すなわち、$X$が単連結な被覆空間を持つとき、$X$が半局所単連結であることを示します。

Proof

$p\colon \tilde{X}\to X$が被覆空間で$\tilde{X}$が単連結とする。任意の$x\in X$とその開近傍$U\subset X$に対して、そのリフト$\tilde{U}\subset \tilde{X}$が存在して、$p| _ {\tilde{U}}\colon \tilde{U}\to U$が同相写像となる。このとき、$U$内の$x_{0}$を基点とする任意のループ$\gamma$に対して、対応する$\tilde{U}$内の$\tilde{\gamma}$が存在する。$\tilde{X}$は単連結であるから$\tilde{\gamma}$は$\tilde{x}$の基点による定数関数にホモトピックになる。対応する$\gamma$も$x_{0}$の基点による定数関数にホモトピックになる。これより$X$は半局所単連結である。

次に、十分条件を示します。すなわち、$X$が半局所単連結であるとき、$X$が単連結な被覆空間$\tilde{X}$を持つことを示します。証明は具体的に$\tilde{X}$を構成し、それが単連結であることを示すことで行います。

Proof

弧状連結、局所弧状連結、半局所単連結な位相空間$X$で$x_{0}$を基点とする。このとき、単連結な被覆空間を

\[ \begin{aligned} \tilde{X} &= \left\{[\gamma] \mathrel{}\middle|\mathrel{} \gamma\colon \textrm{path in } X \textrm{ starting at } x_{0}\right\} \\\\ p &\colon \tilde{X}\to X;\quad[\gamma] \mapsto \gamma(1) \end{aligned} \]

で定める。$[\gamma]$は基点と終点を定めたときのpathをホモトピックなもので割った同値類である。このように構成された空間が実際に単連結な被覆空間であることを示す。

$p$はwell-defined

$[\gamma_{1}]=[\gamma_{2}]$のとき、$\gamma_{1}(1)=\gamma_{2}(1)$であるから、$p$はwell-definedである。
$p$は全射

任意の$x\in X$に対して、$X$は弧状連結であるから、$x_{0},x$をそれぞれ基点・終点とするpath$\gamma$が存在する。このとき、$p([\gamma])=\gamma(1)=x$であるから、$p$は全射である。
$X$の基底 $\mathcal{U}$

はじめに$X$の部分集合族を次のように

\[ \mathcal{U}=\left\{\textrm{path-connected open set }U\subset X \mathrel{}\middle|\mathrel{} \pi_{1}(U)\hookrightarrow\pi_{1}(X)\colon\textrm{trivial} \right\} \]

で$\mathcal{U}$を定める。これが$X$の基底をなすことを示す。これはTheorem 3を用いることによりわかる。
- $X$の任意の開集合$A$と$A$内の任意の点$x\in A$を取る。$X$が半局所単連結であることから、$x$を含むある開集合$V$が存在して、$\pi_{1}(V)\hookrightarrow\pi_{1}(X)$は自明となる。このとき、$x\in A\cap V$であり、$A\cap V$は開集合であるから$X$が局所弧状連結であることから$x$のある弧状連結開近傍$W$が存在して$W\subset A\cap V$となる。$\pi_{1}(W)\hookrightarrow\pi_{1}(V)\hookrightarrow\pi_{1}(X)$が自明である。これらより$W\in\mathcal{U}$であるからTheorem 3より$\mathcal{U}$は$X$の基底となる。
$\tilde{X}$の基底 $\tilde{\mathcal{U}}$

任意の$U\in\mathcal{U}$と$x_{0}\in X$を起点とし$U$内の一点を終点とするpath$\gamma$を取る(このような$\gamma$が取れることは$X$の弧状連結性からわかる)。これに対して$\tilde{X}$の部分集合

\[ U_{[\gamma]}=\left\{[\gamma\cdot\eta] \mathrel{}\middle|\mathrel{} \eta\colon \textrm{path in } U \textrm{ with } \eta(0)=\gamma(1) \right\} \]

を定める。これは$\gamma$のとり方に対してwell-definedである。これは$\gamma\sim\gamma'$ならば$[\gamma\cdot\eta]=[\gamma'\cdot\eta]$からわかる。このとき、

\[ [\gamma']\in U_{[\gamma]} \Longrightarrow U_{[\gamma]} = U_{[\gamma']} \]

が成り立つ。 - $U_{[\gamma']}\subset U_{[\gamma]}$であること: $[\gamma']\in U_{[\gamma]}$であるとき、$\gamma(1)$を起点とする$U$内のpath $\eta$が存在して$\gamma'=\gamma\cdot\eta$が成り立つ。このとき、$U_{[\gamma']}$内の任意の元は$U$内のあるpath $\mu$が存在して$[\gamma'\cdot\mu]=[\gamma\cdot\eta\cdot\mu]$と表される。$\eta\cdot\mu$は$U$内のpathであり、$(\eta\cdot\mu)(0)=\eta(0)=\gamma(1)$であるから$[\gamma\cdot\eta\cdot\mu]=[\gamma\cdot(\eta\cdot\mu)]$は$U_{[\gamma]}$の元である。よって、$U_{[\gamma']}\subset U_{[\gamma]}$である。 - $U_{[\gamma]}\subset U_{[\gamma']}$であること: 上と同様に$\gamma'=\gamma\cdot\eta$と表現する。$U_{[\gamma]}$の任意の元は$U$内のあるpath $\mu$を用いて$[\gamma\cdot\mu]$と書ける。$[\gamma\cdot\mu]=[\gamma'\cdot(\overline{\eta}\cdot \mu)]$であり、$\overline{\eta}\cdot \mu$は$U$内のpathであるから$[\gamma'\cdot(\overline{\eta}\cdot \mu)]$は$U_{[\gamma']}$の元である。よって、$U_{[\gamma]}\subset U_{[\gamma']}$である。

この結果を用いると$\tilde{\mathcal{U}}=\\{U_{[\gamma]}\\}$が$\tilde{X}$の基底をなすことがわかる。これはTheorem 4が満たされることを確認することにより示される。
- 任意の$[\gamma]\in\tilde{X}$に対して、$p([\gamma])=\gamma(1)\in X$の開近傍$U\in \mathcal{U}$を取る。このとき、$[\gamma]\in U_{[\gamma]}\in \tilde{\mathcal{U}}$である。
- $U_{[\gamma]},V_{[\gamma']}\in\tilde{\mathcal{U}}$を任意にとって、$[\gamma'']\in U_{[\gamma]}\cap V_{[\gamma']}$なる元が存在するとする。上の議論から$U_{[\gamma]}=U_{[\gamma'']},V_{[\gamma']}=V_{[\gamma'']}$となる。このとき、$\gamma''(1)\in U\cap V$であり、その開近傍$W\subset U\cap V$を取ると、$W_{[\gamma'']}\subset U_{[\gamma]}\cap V_{[\gamma']}$なる$W_{[\gamma'']}\in\tilde{\mathcal{U}}$が得られる。
$p$は局所同相

まず$p| _ {U_{[\gamma]}}\colon U_{[\gamma]}\to U$は全単射であることを示す。 - 全射であること: 任意の$x\in U$に対して、$\gamma(1)$と$x$をそれぞれ起点・終点とするpath $\eta$であって$\eta([0,1])\subset U$なるものが存在する(このような$\eta$が取れることは$U$の弧状連結性よりわかる)。このとき、$[\gamma\cdot\eta]\in U_{[\gamma]}$であり、$p| _ {U_{[\gamma]}}([\gamma\cdot\eta])=\eta(1)=x$となるから、$p| _ {U_{[\gamma]}}$は全射である。 - 単射であること: $U_{[\gamma]}$内の任意の元$[\gamma\cdot\eta_{1}]\ne[\gamma\cdot\eta_{2}]$を取る。このとき、$\eta_{1}(1)\ne\eta_{2}(1)$となる。これは、$\eta_{1}(1)=\eta_{2}(1)$とすると$\eta_{1},\eta_{2}$は起点終点が一致するpathとなる。このとき、$\pi_{1}(U)\hookrightarrow\pi_{1}(X)$は自明なので$\eta_{1}\sim\eta_{2}$となり、よって$[\gamma\cdot\eta_{1}]=[\gamma\cdot\eta_{2}]$となり矛盾してしまうからである。以上より、$p| _ {U_{[\gamma]}}([\gamma\cdot\eta_{1}])\ne p| _ {U_{[\gamma]}}([\gamma\cdot\eta_{2}])$となる。よって、$p| _ {U_{[\gamma]}}$は単射である。

次に$p| _ {U_{[\gamma]}}\colon U_{[\gamma]}\to U$が連続であることを示す。連続性の証明にはTheorem 5を用いる。 - 任意の$V\in\mathcal{U}$かつ$V\subset U$に対して$\left(p| _ {U_{[\gamma]}}\right)^{-1}(V)$が開集合であることを示せば良い。$[\gamma']\in U_{[\gamma]}$かつ$\gamma'(1)\in V$なるpathを取ると、

\[ \begin{aligned} \left(p| _ {U_{[\gamma]}}\right)^{-1}(V)& =p^{-1}(V)\cap U_{[\gamma]}=p^{-1}(V)\cap U_{[\gamma']}\\\\ & = \left\{[\gamma'\cdot\eta] \mathrel{}\middle|\mathrel{} \eta\colon\textrm{path in } U,\eta(0),\eta(1)\in V \right\} \end{aligned} \]

となる。特に$\eta$は$U$上のpathだが端点は$V$にある。$V$は弧状連結かつ$\pi_{1}(V)\hookrightarrow\pi_{1}(X)$は自明になるので、$\eta$は常に$V$内のpathにhomotopicになる。よって、

\[ \left(p| _ {U_{[\gamma]}}\right)^{-1}(V) = \left\{[\gamma'\cdot\eta] \mathrel{}\middle|\mathrel{} \eta\colon\textrm{path in } V \right\} = V_{[\gamma']} \]

である。$V_{[\gamma']}$は$\tilde{X}$の開基底であるから示された。

最後に$\left(p| _ {U_{[\gamma]}}\right)^{-1}\colon U\to U_{[\gamma]}$が連続であることを示す。これにもTheorem 5を用いる。 - 任意の開基底$V_{[\gamma']}\subset U_{[\gamma]}$に対して$p(V_{[\gamma']})=V\subset U$は開集合であるから示された。

よって$p$は局所同相であることが示された。
$p$は被覆空間

$p$が被覆空間であることを示すには、あとは任意の$x\in X$に対して開近傍$U\subset X$であって、 $p^{-1}(U)$が共通部分を持たない$\tilde{X}$の開集合の和集合で表され、各開集合による$p$の制限が$U$と同相となることが分かれば良い。まず$x$の開近傍の選び方として、$U\in\mathcal{U}$から選ぶことにする。また、$x_{0}$から$x$へのpathたちで$[\gamma]$を変えていき、 $\\{[\gamma_{\lambda}]\\}_{\lambda}$を集める。このとき、

\[ p^{-1}(U) = \bigcup _ {\lambda} U _ {[\gamma _ {\lambda}]} \]

となる。もし、$U _ {[\gamma _ {\lambda}]}\cap U _ {[\gamma _ {\lambda'}]}$が空でなく$[\gamma']$を元として持つならば、step 4で示したことから $U _ {[\gamma _ {\lambda}]} = U _ {[\gamma _ {\lambda'}]} = U _ {[\gamma']}$となり矛盾してしまう。よって$U _ {[\gamma _ {\lambda}]}$はそれぞれ互いに素な開集合である。また、各$p| _ {U _ {[\gamma _ {\lambda}]}}$に対して$p| _ {U _ {[\gamma _ {\lambda}]}}\colon U _ {[\gamma _ {\lambda}]} \to U$が同相であることはstep 5で示した。よって$p$は被覆空間であることが示された。
$\tilde{X}$は単連結

最後に$\tilde{X}$が単連結であることを示す。そのためにまず弧状連結であることを示す。
- $X$上のpath$\gamma$を$\tilde{X}$にliftしたものを始めに構成したい。
\[ \gamma_{t}(s) = \begin{cases} \gamma(s) & 0\leq s\leq t\\\\ \gamma(t) & t\leq s\leq 1\end{cases} \]

を定める。これは$\gamma$上$\gamma(0)$から$\gamma(t)$までのpathになっている。これに対して、

\[ [0,1]\ni t\mapsto [\gamma_{t}]\in\tilde{X} \]

という写像を考えると、

\[ p\circ(t\mapsto [\gamma_{t}]) = \gamma \]

となる。よって、$t\mapsto [\gamma_{t}]$は$\gamma$のliftに他ならず、これはTheorem 6より$\tilde{X}$上の$[x_{0}]$から$[\gamma]$へのpathである。 $\gamma$のとり方は任意であったから、これは$\tilde{X}$上の2点間に必ずpathが引けることを意味する。よって、$\tilde{X}$は弧状連結である。
- 次に単連結であることを示す。これは$\pi_{1}(\tilde{X},[x_{0}])=0$を示すことに等しいが、今$p_{\ast}$が単射であることから$p_{\ast}(\pi_{1}(\tilde{X},[x_{0}]))=0$を示せば良い。 Theorem 7より、$p_{\ast}(\pi_{1}(\tilde{X},[x_{0}]))$の任意の元は$x_{0}$を起点とする$X$内のloop$\gamma$であって、そのliftが$[x_{0}]$を起点とする$\tilde{X}$内のloopとなるようなものを用いて$[\gamma]$と表現される。ここで、$\gamma$のliftは上で定義した$t\mapsto [\gamma_{t}]$となるが、これが$\tilde{X}$のloopになることから、$[\gamma_{0}]=[\gamma_{1}]=[x_{0}]$となる。特に$[\gamma_{1}]=[\gamma]$であり、これは$p_{\ast}(\pi_{1}(\tilde{X},[x_{0}]))$の任意の元が$[x_{0}]$であることを示している。よって、$p_{\ast}(\pi_{1}(\tilde{X},[x_{0}]))=0$であり、$\tilde{X}$が単連結であることが示された。