単連結な被覆空間の存在
ホモロジーゼミの基本群パートの一つの山場である、被覆空間の分類定理がやってきました。 この定理を示すためには、単連結な被覆空間の存在証明が必要になります。
Theorem: 単連結な被覆空間の存在
弧状連結かつ局所弧状連結な位相空間\(X,\tilde{X}\)で、\(\tilde{X}\)は\(X\)の被覆空間とする。\(\tilde{X}\)が単連結になるための必要十分条件は\(X\)が半局所単連結であることである。
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Unique lifting property
Hatcherの"Algebraic Topology"のProposition 1.34でUnique lifting propertyとその証明が与えられているのですが、その証明がわかりにくかったのでここに分かりやすくまとめてみます。 Hatcherが全体的に読みにくいと感じるのは自分だけだろうか。。。
Hermite多項式の係数
Hermite多項式の係数をpythonで求める方法を紹介します。
係数自体は三項間漸化式で求められますが、高次の係数を求めるときには再帰が必要になり計算量が増えてしまいます。
functoolsモジュールのcacheを使うと再帰を高速化できます。
Random Fourier Features
カーネル法によるリッジ回帰は表現力が高いことが知られており、またその数学的背景の豊かさから多くの研究がなされてきました。 しかし、\(n\)個のデータ数に対して推論に\(\mathcal{O}(n^{3})\)の計算量が必要とされるため、計算量を低減させる方法を検討することは非常に重要です。 ここでは、Random Fourier Features 1と呼ばれる方法を紹介します。 実装も行ったがGistにも公開している。
AUTOのインストール方法
AUTOはODE(常微分方程式)の分岐解析を扱うソフトウェアで、1980年に開発されて以来力学系界隈で使われてきました。 現在はGitHubにてコードが公開されて細々と(?)開発が続けられています。
AUTOは便利ではあるのですが、そのインストール方法がプログラム初心者には少し難しいことがあるそうなのでその流れを少しまとめてみました。 以下では基本的にMac OSでインストールする方法を述べますが、WindowsやLinuxでも同様だと思います。 また、最低限のターミナルでの操作は出来るものとしておきます。
Brouwer's fixed-point theorem
ホモロジーゼミの中でブラウワーの不動点定理の証明が出てきました。特に円盤\(D^{2}\)上でのブラウワーの不動点定理は基本群を用いて簡便に証明ができることを学んだので備忘録としてまとめておきます。
ブラウワーの不動点定理
\(D^{2}\to D^{2}\)の任意の連続関数は不動点を持つ。
ランダムグラフ上の最小全域木
集中不等式に関する勉強をしている中でランダムグラフの最小全域木の重み和の期待値が頂点数無限の極限で\(\zeta(3)\)に収束するという驚異的な定理を目にしました。 今回はその定理をかんたんに紹介したいと思います。
M1 MacでのPython環境構築(tensorflowとか)
Apple Siliconが搭載されたMacが手元に何台かあって、その上で色々と研究をしていたのですが、pythonの環境構築に結構手こずってしまいました。何度か試してうまく行ったものを備忘録として記しておきます。 (ここではpyenvを用いた環境構築について記しています。もちろん他にも良い方法はあると思います。) インストールに手こずることがあれば随時この記事に書き足していきたいと思います。
Kovacicのアルゴリズムを用いて調和振動子を解く
Kovacicのアルゴリズムは有利係数の2階線形常微分方程式を解くアルゴリズムです。与えられた微分方程式が解くことができる場合にはその解を出力し、解くことができない場合にはそうであることがわかるという非常に便利なアルゴリズムになっています。ここで言う"解ける"という言葉は微分ガロア理論の意味で用いられています。僕自身は微分ガロア理論には詳しくはないので細かいことはわかりませんが、細かいことがわからなくてもKovacicのアルゴリズムを使うことができるものになっています。